如果我们有面值为1元、3元和5元的硬币若干枚,如何用最少的硬币凑够11元?

首先我们思考一个问题,如何用最少的硬币凑够10元?为什么要这么问呢?
(思想类似djikstra最短路径算法)
两个原因:
1.当我们遇到一个大问题时,总是习惯把问题的规模变小,这样便于分析讨论。
2.这个规模变小后的问题和原来的问题是同质的,除了规模变小,其它的都是一样的, 本质上它还是同一个问题(规模变小后的问题其实是原问题的子问题)。

好了,让我们从最小的i开始吧。
当i=0,即我们需要多少个硬币来凑够0元。 由于1,3,5都大于0,即没有比0小的币值,因此凑够0元我们最少需要0个硬币。 (这个分析很傻是不是?别着急,这个思路有利于我们理清动态规划究竟在做些什么。) 这时候我们发现用一个标记来表示这句“凑够0元我们最少需要0个硬币。”会比较方便, 如果一直用纯文字来表述,不出一会儿你就会觉得很绕了。那么, 我们用d(i)=j来表示凑够i元最少需要j个硬币。

于是我们已经得到了d(0)=0, 表示凑够0元最小需要0个硬币。
当i=1时,只有面值为1元的硬币可用, 因此我们拿起一个面值为1的硬币,接下来只需要凑够0元即可,而这个是已经知道答案的, 即d(0)=0。所以,d(1)=d(1-1)+1=d(0)+1=0+1=1。
当i=2时, 仍然只有面值为1的硬币可用,于是我拿起一个面值为1的硬币, 接下来我只需要再凑够2-1=1元即可(记得要用最小的硬币数量),而这个答案也已经知道了。 所以d(2)=d(2-1)+1=d(1)+1=1+1=2。
一直到这里,你都可能会觉得,好无聊, 感觉像做小学生的题目似的。因为我们一直都只能操作面值为1的硬币!

耐心点, 让我们看看i=3时的情况。当i=3时,我们能用的硬币就有2种了:1元的和3元的( 5元的仍然没用,因为你需要凑的数目是3元!5元太多了)。
既然能用的硬币有2种,我就有2种方案:
第1种方案:如果我拿了一个1元的硬币,我的目标就变为凑够3-1=2元需要的最少硬币数量。即d(3)=d(3-1)+1=d(2)+1=2+1=3。 这个方案说的是,我拿3个1元的硬币;
第2种方案:我拿起一个3元的硬币, 我的目标就变成:凑够3-3=0元需要的最少硬币数量。即d(3)=d(3-3)+1=d(0)+1=0+1=1. 这个方案说的是,我拿1个3元的硬币。好了,这2种方案哪种更优呢?还记得我们可是要用最少的硬币数量来凑够3元的吧。所以, 选择d(3)=1,怎么来的呢?具体是这样得到的:d(3)=min{d(3-1)+1, d(3-3)+1},即d(3)=min{d(3-1), d(3-3)} + 1

以此类推,当i=11时, d(11)=min{d(11-1), d(11-3), d(11-5)} + 1,计算得出 d(11) = 3

代码如下:

function solution($n) {
    $pool = array(1, 3, 5);
    if ($n == 0) {
        $count = 0;
    } elseif (in_array($n, $pool)) {
        $count = 1;
    } else {
        $count = PHP_INT_MAX;
        foreach($pool as $item) {
            if ($n - $item > 0) {
                $count = min(solution($n - $item), $count) +1;
            }
        }
    }
    return $count;
}

若按从小到大顺序(从d(1)算到d(11))进行计算或利用缓存,则可对算法进行优化,避免重复计算。

动态规划:从新手到专家 – Hawstein 的博客

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